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株価と幾何ブラウン運動の関係を数式で解説する【ブラック・ショールズ式】

幾何ブラウン運動 金融工学
株価のモデルは幾何ブラウン運動で表現される
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こんにちは、こんばんわ。うどんマン(@udonman1989)です。

今回は、ブラックショールズ式を理解する上で重要な考えの一つである、幾何ブラウン運動についての記事です。

この概念を理解する事でボラティリティの持つ意味やオプション・プレミアムの算出の方法が理解できる様になります。

 

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幾何ブラウン運動について

金融工学の世界では、株価の日々の推移は期待値と標準偏差(ボラティリティ)を用いた幾何ブラウン運動を用いてモデル化出来るとされています。

微小時間後の単利表示リターン

幾何ブラウン運動

株価のモデルは幾何ブラウン運動で表現される

$$\frac{dS}{S} \sim N(\mu dt,\sigma \sqrt{dt})$$

上の式の解説をすると、次の瞬間の株価(微小時間dt後)までの株価はdS分変化する事を表しています。

〜は、株価の単利表示リターンが、単位時間あたりの期待μ、その分布の標準偏差σの正規分布に従うという意味です。

微小時間後の単利表示リターン(値動き)=単位時間あたりの期待値と分布の標準偏差を用いる事で求められます。

期待値は時間に比例し、標準偏差は時間の平方根に連動する事が知られています。

連続複利表示リターンの算出式

$$ ln\biggl(\frac{Sr}{S} \biggr)\sim N \Biggl[(μ–\frac{\sigma^2}{2})T,\sigma \sqrt{T}\Biggr] $$

現在株価SとSrはT時間後の株価を表します。

T時間後の株価のリターンを連続複利表示した場合、(In(現在株価/T時間後株価))は、

$$ \Biggl[(μ–\frac{\sigma^2}{2})T<期待値>,\sigma \sqrt{T}<標準偏差>\Biggr] $$

の正規分布に従います。

期待値は時間Tに比例して増減して、その変動幅(ボラティリティ)が時間の平方根に比例します。

連続複利リターンの時間の標準偏差の事をボラティリティとい言います。

連続複利表示リターンの正規分布図

連続複利リターン

株価の期待値(リターン)は、正規分布の標準偏差に収束します。

中長期的なリターンは対数正規分布になる

対数正規分布と最頻値・中央値

株価の連続複利リターンの確率分布は標準正規分布するとされています。

しかし、先ほどの項目で確認した様に微小時間後の株価は正規分布に収束し、その確率変数は、対数正規分布することが数学的に証明されています。

対数正規分布とは、とある確率変数Xの対数をとったものが正規分布するという理論です。

以下参考記事となります。

平均年収の分布から対数正規分布と確率分布・確率変数について学ぼう
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連続複利リターンと株価が対数正規分布することの意味

次に株価が対数正規分布することの意味を確認していきましょう。

対数正規分布では、最頻値は中央値より小さく、中央値は期待値より小さくなります。

つまり、最頻値付近に多くの投資家がいて株式を保有すると得られるとされるリターンよりも多くの投資家は低いリターンしか得られずに撤退していくということです。

これが、投資やFXは一部の勝ち組に大多数の投資家の損失が移転している=ゼロサムゲームだと言われる理由です。

極めて一部の勝ち組投資家が資金を増やし続ける一方では手持ち資金をゼロにするトレーダーが大多数という事です。

私も投資歴2年で2回退場した事があるよ(◞‸◟)

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